3. В треугольнике АВС (рис. 3) проведен отрезок МК так, что ZKMC = ∠ABC, АМ = 4 см, МС = = 6 см, КС = 5 см. Найдите длину отрезка ВК.

Рассмотрим треугольники AMK и ABC. У них \(\angle A\) - общий, и \(\angle KMC = \angle ABC\) по условию. Следовательно, треугольники AMK и ABC подобны по двум углам. Тогда стороны пропорциональны: \[\frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AC} = \frac{MK}{BC}\]

Известно, что AM = 4 см, MC = 6 см, KC = 5 см. Пусть BK = x. Тогда AC = AM + MC = 4 + 6 = 10 см, BC = BK + KC = x + 5. Используем отношение сторон: \[\frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AC}\] Из подобия следует, что \[\frac{AM}{AB} = \frac{MC}{KC}\] не верно, используем \[\frac{AM}{MB} = \frac{AK}{KC}\] не подходит. Используем \[\frac{MC}{KC} = \frac{AM}{BK}\] тоже не подходит, так как это не стороны треугольника. Необходимо использовать теорему о пропорциональных отрезках, если \(\angle KMC = \angle ABC\), то отрезки BK и AM соответствуют, аналогично KC и MC тогда можем записать пропорцию: \[\frac{AM}{KC} = \frac{MK}{BC}\]

Нам сказано, что \(\angle KMC = \angle ABC\), значит MK || AB, следовательно \[\frac{CK}{KB} = \frac{CM}{MA}\] \[\frac{5}{x} = \frac{6}{4}\] \[x = \frac{5 \cdot 4}{6}\] \[x = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\]

Ответ: \(3\frac{1}{3}\) см.