5. Дана трапеция ABCD (AD || BC), диагонали трапеции пересекаются в точке О, Ѕвос = 3 см², SCOD = 6 см². Найдите площадь трапеции ABCD.

Так как AD || BC, то треугольники BOC и AOD подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон: \[\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \left(\frac{BC}{AD}\right)^2\]

Треугольники AOB и COD равновеликие (имеют равные площади), так как у них одинаковые высоты, проведенные к основаниям, лежащим на параллельных прямых AD и BC. Отношение площадей треугольников BOC и COD равно отношению их оснований: \[\frac{S_{BOC}}{S_{COD}} = \frac{BO}{OD}\] Отсюда: \[\frac{3}{6} = \frac{BO}{OD}\] \[\frac{BO}{OD} = \frac{1}{2}\]

Аналогично: \[\frac{S_{AOB}}{S_{AOD}} = \frac{BO}{OD} = \frac{1}{2}\] Так как \(S_{COD} = S_{AOB}\), то \(S_{AOB} = 6\ \text{см}^2\). Тогда: \[\frac{6}{S_{AOD}} = \frac{1}{2}\] \[S_{AOD} = 12\ \text{см}^2\]

Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников AOB, BOC, COD и AOD: \[S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD}\] \[S_{ABCD} = 6 + 3 + 6 + 12 = 27\ \text{см}^2\]

Ответ: 27 см².