13. В треугольнике АВС АС ВС, АВ 18, tgA 3. Найдите длину стороны АС. Ответ:

Пошаговое решение:

• Пусть H — основание высоты, проведённой из вершины C к стороне AB. Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то AH = HB = \( \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9 \).
• Тангенс угла A равен отношению высоты CH к AH: \[ tgA = \frac{CH}{AH} \] Отсюда, CH = tgA \cdot AH = \(\sqrt{ \frac{7}{3}} \cdot 9 = 3\sqrt{7}\).
• Теперь найдём AC по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AHC: \[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \] \[ AC^2 = 9^2 + (3\sqrt{7})^2 \] \[ AC^2 = 81 + 9 \cdot 7 \] \[ AC^2 = 81 + 63 \] \[ AC^2 = 144 \] \[ AC = \sqrt{144} = 12 \]

Ответ: 12