13. В треугольнике АВС АС ВС, АВ 18, tgA 3. Найдите длину стороны АС.

Пошаговое решение:

• Поскольку \( AC = BC \), треугольник ABC равнобедренный.
• Тогда углы при основании равны: \( \angle A = \angle B \).
• Используем теорему косинусов: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos A \)
• Так как \( AC = BC \), формула упрощается: \( AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \cos A \)
• Выразим \( \cos A \) через \( tg A = \frac{\sqrt{7}}{3} \). Зная, что \( tg A = \frac{\sin A}{\cos A} \), можно найти \( \sin A \) и \( \cos A \).
• Так как \( tg^2 A + 1 = \frac{1}{\cos^2 A} \), то \( \cos^2 A = \frac{1}{tg^2 A + 1} = \frac{1}{\frac{7}{9} + 1} = \frac{9}{16} \).
• Следовательно, \( \cos A = \frac{3}{4} \).
• Подставим известные значения в уравнение: \( 18^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \frac{3}{4} \)
• \( 324 = 2AC^2 - \frac{3}{2}AC^2 = \frac{1}{2}AC^2 \)
• \( AC^2 = 648 \)
• \( AC = \sqrt{648} = 18\sqrt{2} \)

Ответ: \(18\sqrt{2}\)