В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол А равен 30°, АВ = 52√3. Найдите высоту СН.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Обозначим катет BC как a, а катет AC как b. Гипотенуза AB = $$52\sqrt{3}$$.

Тогда a = BC = $$\frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 52\sqrt{3} = 26\sqrt{3}$$.

Найдем катет AC = b по теореме Пифагора:

$$b^2 = AB^2 - BC^2 = (52\sqrt{3})^2 - (26\sqrt{3})^2 = 52^2 \cdot 3 - 26^2 \cdot 3 = 2704 \cdot 3 - 676 \cdot 3 = 8112 - 2028 = 6084$$

$$b = \sqrt{6084} = 78$$.

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 26\sqrt{3} \cdot 78 = 1014\sqrt{3}$$

Или:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 52\sqrt{3} \cdot CH = 26\sqrt{3} \cdot CH$$

Приравниваем оба выражения для площади:

$$26\sqrt{3} \cdot CH = 1014\sqrt{3}$$

$$CH = \frac{1014\sqrt{3}}{26\sqrt{3}} = \frac{1014}{26} = 39$$

Ответ: Высота CH = 39.