В треугольнике ABC AB = BC=AC=54√3. Найдите высоту СН.

В треугольнике ABC, AB = BC = AC = $$54\sqrt{3}$$. Треугольник ABC - равносторонний, т.к. все стороны равны. Высота CH также является медианой и биссектрисой.

Т.к. CH медиана, то AH = HB = $$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 54\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AH^2 + CH^2$$

$$CH^2 = AC^2 - AH^2 = (54\sqrt{3})^2 - (27\sqrt{3})^2 = 54^2 \cdot 3 - 27^2 \cdot 3 = 2916 \cdot 3 - 729 \cdot 3 = 8748 - 2187 = 6561$$

$$CH = \sqrt{6561} = 81$$

Ответ: Высота CH = 81.