В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН – высота, угол А равен 30°, АВ = 22. Найдите АН.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. CH - высота, проведенная к гипотенузе AB. Угол A = 30°, AB = 22. Требуется найти AH.

В прямоугольном треугольнике ABC катет BC, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, т.е.

$$BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 22 = 11$$

По теореме Пифагора найдем катет AC:

$$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 22^2 - 11^2 = (2 \cdot 11)^2 - 11^2 = 4 \cdot 11^2 - 11^2 = 3 \cdot 11^2 = 3 \cdot 121 = 363$$

$$AC = \sqrt{363} = 11\sqrt{3}$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем:

$$cos A = \frac{AH}{AC}$$

$$AH = AC \cdot cos A = 11\sqrt{3} \cdot cos 30° = 11\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11 \cdot 3}{2} = \frac{33}{2} = 16.5$$

Ответ: AH = 16.5.