15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = \(\sqrt{2}\) AC, BC = 6. Найдите высоту CH. В ответ запишите, чему равно \(\sqrt{2}CH\). Ответ:

В прямоугольном треугольнике ABC угол \(C = 90^\circ\), \(BC = 6\), \(AB = \sqrt{2}AC\). Нужно найти высоту CH и вычислить \(\sqrt{2}CH\). Пусть \(AC = x\), тогда \(AB = \sqrt{2}x\). По теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\) \((\sqrt{2}x)^2 = x^2 + 6^2\) \(2x^2 = x^2 + 36\) \(x^2 = 36\) \(x = 6\) Итак, \(AC = 6\) и \(AB = \sqrt{2} \cdot 6 = 6\sqrt{2}\). Площадь треугольника \(ABC\) можно вычислить двумя способами: \(S = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18\) \(S = \frac{1}{2}AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot CH = 3\sqrt{2} \cdot CH\) Тогда: \(3\sqrt{2} \cdot CH = 18\) \(CH = \frac{18}{3\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) Теперь найдем \(\sqrt{2}CH\): \(\sqrt{2}CH = \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6\) Ответ: 6