15. В треугольнике $$ABC$$ проведены медиана $$AM$$ и высота $$AH$$ (см. рис. 89). Известно, что $$BC = 64$$ и $$AB = AM$$. Найдите $$CH$$.

Так как $$AM$$ - медиана, то $$M$$ - середина $$BC$$. Следовательно, $$BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{64}{2} = 32$$. Пусть $$AB = AM = x$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора, $$AH^2 = AB^2 - BH^2 = x^2 - BH^2$$. Теперь рассмотрим треугольник $$AHM$$. Так как $$AH$$ - высота, то $$\angle AHM = 90^{\circ}$$. Значит, $$AH^2 + HM^2 = AM^2$$. Отсюда $$AH^2 = AM^2 - HM^2 = x^2 - HM^2$$. Следовательно, $$x^2 - BH^2 = x^2 - HM^2$$, что означает $$BH^2 = HM^2$$, и $$BH = HM$$. Мы знаем, что $$HM = BM - BH = 32 - BH$$. Подставляем это в $$BH = HM$$, получаем $$BH = 32 - BH$$, откуда $$2BH = 32$$, и $$BH = 16$$. Теперь найдем $$CH$$. $$CH = BC - BH = 64 - BH$$. Так как чертёж не соответствует условию, и $$H$$ находится между $$B$$ и $$M$$, а $$M$$ между $$B$$ и $$C$$, то $$CH=CM+MH = 32 +MH$$. Тогда $$CH = CM + MH = 32+16 = 48$$. Ответ: $$CH = 48$$