В треугольнике ABC известно, что AB = AC, отрезок AE - высота. На стороне AC отметили точку F такую, что FE = AF. Докажите, что EF || AB.

Решение:

Дано:

• \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AB = AC \).
• \( AE \) — высота, \( AE \perp BC \).
• \( F \) — точка на \( AC \), \( FE = AF \).

Доказать:

• \( EF \parallel AB \).

Доказательство:

1. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный с \( AB = AC \) и \( AE \) — высота, то \( AE \) также является медианой и биссектрисой. Следовательно, \( E \) — середина \( BC \), и \( \angle BAE = \angle CAE \).
2. Рассмотрим \( \triangle AFE \). По условию \( FE = AF \), значит, \( \triangle AFE \) — равнобедренный.
3. В равнобедренном \( \triangle AFE \), углы при основании \( AE \) равны: \( \angle AEF = \angle FAE \).
4. Из \( \triangle ABC \) мы знаем, что \( \angle FAE = \angle CAE \) (так как \( F \) лежит на \( AC \) и \( AE \) — биссектриса).
5. Из \( \triangle AFE \) мы знаем, что \( \angle AEF = \angle FAE \).
6. Следовательно, \( \angle AEF = \angle FAE = \angle CAE \).
7. Углы \( \angle AEF \) и \( \angle EAB \) являются накрест лежащими при прямых \( EF \) и \( AB \) и секущей \( AE \).
8. Так как \( \angle AEF = \angle CAE \) (угол при основании равнобедренного \( \triangle AFE \) равен углу при основании равнобедренного \( \triangle ABC \)), а \( \angle CAE \) — это тот же угол, что и \( \angle EAB \) (углы при основании равнобедренного \( \triangle ABC \) равны), то \( \angle AEF = \angle EAB \).
9. Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые \( EF \) и \( AB \) параллельны.

Доказано.