144. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете BC отметили такую точку D, что ∠BDA = 120°. Найдите BC, если AD = 12 см.

Для решения этой задачи, сначала рассмотрим треугольник ABC. Поскольку ∠C = 90° и ∠A = 60°, то ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°. Теперь рассмотрим треугольник ABD. В нем ∠BDA = 120°, значит ∠DAB = 180° - 120° - 30° = 30°. Следовательно, треугольник ABD равнобедренный, и AD = BD = 12 см. Далее, рассмотрим треугольник ADC. В нем ∠DAC = 60° - 30° = 30°, ∠C = 90°, значит ∠ADC = 60°. Теперь мы можем использовать тангенс угла DAC: $$tg(∠DAC) = \frac{DC}{AD}$$ $$tg(30°) = \frac{DC}{12}$$ Знаем, что $$tg(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$, тогда: $$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{DC}{12}$$ $$DC = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$$ Теперь найдем BC = BD + DC = 12 + 4√3 $$BC = 12 + 4\sqrt{3} \approx 12 + 4*1.73 = 12 + 6.92 = 18.92$$ Ответ: $$12 + 4\sqrt{3}$$ см