144. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете BC отметили такую точку D, что ∠BDA = 120°. Найдите BC, если AD = 12 см.

Для решения этой задачи, сначала рассмотрим треугольник ABC. Поскольку ∠C = 90° и ∠A = 60°, то ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. В нем ∠BDA = 120°, значит ∠DAB = 180° - 120° - 30° = 30°. Следовательно, треугольник ABD равнобедренный, и AD = BD = 12 см.

Далее, рассмотрим треугольник ADC. В нем ∠DAC = 60° - 30° = 30°, ∠C = 90°, значит ∠ADC = 60°. Теперь мы можем использовать тангенс угла DAC:

$$tg(∠DAC) = \frac{DC}{AD}$$

$$tg(30°) = \frac{DC}{12}$$

Знаем, что $$tg(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$, тогда:
$$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{DC}{12}$$

$$DC = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$$

Теперь найдем BC = BD + DC = 12 + 4√3

$$BC = 12 + 4\sqrt{3} \approx 12 + 4*1.73 = 12 + 6.92 = 18.92$$

Ответ: $$12 + 4\sqrt{3}$$ см