5. В трапеции АВСD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, АО = 10 см, ОС = 4 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 42 см.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O, AO = 10 см, OC = 4 см.

Найти основания трапеции, если их сумма равна 42 см.

Обозначим основания трапеции AD и BC.

AD + BC = 42 см

Треугольники BOC и DOA подобны по двум углам (углы BOC и DOA вертикальные, углы OCB и OAD накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OA}$$

$$\frac{BC}{AD} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

Выразим BC через AD:

$$BC = \frac{2}{5}AD$$

Подставим в уравнение AD + BC = 42:

$$AD + \frac{2}{5}AD = 42$$

$$\frac{7}{5}AD = 42$$

$$AD = \frac{42 \cdot 5}{7} = 30 \text{ см}$$

$$BC = 42 - 30 = 12 \text{ см}$$

Ответ: AD = 30 см, BC = 12 см.