4. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О, BC : AD = 3:5, BD = 24 см. Найдите ВО и OD.

Рассмотрим треугольники BOC и AOD. Угол BOC = углу AOD как вертикальные. Угол CBO = углу ADO как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, треугольники BOC и AOD подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что \(\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{5}\).

Пусть BO = 3x, тогда OD = 5x.

Так как BD = BO + OD, то 24 = 3x + 5x.

Решим уравнение:

$$8x = 24$$ $$x = 3$$

BO = 3 * 3 = 9 см

OD = 5 * 3 = 15 см

Ответ: BO = 9 см, OD = 15 см