В*. Стержень, на одном конце которого подвешен груз массой 12 кг, будет находиться в равновесии в горизонтальном положении, если его подпереть на расстоянии 1/5 длины стержня от груза. Чему равна масса стержня?

Задание В*. Масса стержня

Дано:

• Масса подвешенного груза: \( m_1 = 12 \) кг.
• Расстояние от точки опоры до груза: \( l_1 = \frac{1}{5} L \), где \( L \) — длина стержня.

Найти: массу стержня \( m_{ст} \).

Решение:

Для равновесия стержня в горизонтальном положении сумма моментов сил относительно точки опоры должна быть равна нулю. Силы, действующие на стержень, — это сила тяжести подвешенного груза и сила тяжести самого стержня. Центр тяжести стержня находится посередине его длины.

1. Момент силы тяжести груза: \( M_1 = m_1 × g × l_1 \)
2. Момент силы тяжести стержня: \( M_{ст} = m_{ст} × g × l_{ст} \). Плечо силы тяжести стержня \( l_{ст} \) равно половине длины стержня, то есть \( l_{ст} = \frac{L}{2} \).
3. Условие равновесия: \( M_1 = M_{ст} \)
4. Подставим выражения для моментов: \[ m_1 × g × l_1 = m_{ст} × g × l_{ст} \]
5. Сократим \( g \): \[ m_1 × l_1 = m_{ст} × l_{ст} \]
6. Подставим известные выражения для плеч: \( l_1 = \frac{L}{5} \) и \( l_{ст} = \frac{L}{2} \)
7. \( m_1 × \frac{L}{5} = m_{ст} × \frac{L}{2} \)
8. Сократим \( L \): \[ \frac{m_1}{5} = \frac{m_{ст}}{2} \]
9. Выразим массу стержня: \[ m_{ст} = \frac{2 × m_1}{5} \]
10. Подставим значение \( m_1 = 12 \) кг: \[ m_{ст} = \frac{2 × 12 \text{ кг}}{5} = \frac{24}{5} \text{ кг} = 4.8 \text{ кг} \]

Ответ: 4.8 кг.