8. В стакан калориметра, содержащий 177 г воды, опустили кусок льда, имеющий температуру 0 °С. Начальная температура калориметра с водой равна 45°С. После того, как лёд растаял, температура воды и калориметра стала равна 5°С. Определите массу льда. Теплоёмкостью калориметра пренебречь. Удельная теплоёмкость воды равна 4200 Дж/(кг °С), удельная теплота плавления льда 330 кДж/кг, удельная теплоемкость льда 2100 Дж/(кг °C).

Дано:

• $$m_в = 177 \text{ г} = 0.177 \text{ кг}$$ - масса воды в калориметре,
• $$t_{в1} = 45 \text{ °С}$$ - начальная температура воды,
• $$t_{л} = 0 \text{ °С}$$ - температура льда,
• $$t_2 = 5 \text{ °С}$$ - конечная температура смеси,
• $$c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$$ - удельная теплоемкость воды,
• $$\lambda = 330 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}} = 330000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$$ - удельная теплота плавления льда.

Найти: $$m_л$$ - массу льда.

Решение:

Уравнение теплового баланса:

$$Q_{отд} = Q_{пол}$$, где

• $$Q_{отд}$$ - теплота, отданная водой при охлаждении,
• $$Q_{пол}$$ - теплота, полученная льдом при плавлении и нагревании.

Вода отдает теплоту при охлаждении:

$$Q_{отд} = c_в \cdot m_в \cdot (t_{в1} - t_2)$$

Лёд получает теплоту при плавлении и нагревании:

$$Q_{пол} = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot m_л \cdot (t_2 - t_л)$$, где

• $$\lambda \cdot m_л$$ - теплота, полученная льдом при плавлении,
• $$c_в \cdot m_л \cdot (t_2 - t_л)$$ - теплота, полученная водой (образовавшейся из льда) при нагревании.

Уравнение теплового баланса принимает вид:

$$c_в \cdot m_в \cdot (t_{в1} - t_2) = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot m_л \cdot (t_2 - t_л)$$.

Выразим массу льда:

$$m_л = \frac{c_в \cdot m_в \cdot (t_{в1} - t_2)}{\lambda + c_в \cdot (t_2 - t_л)}$$

$$m_л = \frac{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}} \cdot 0.177 \text{ кг} \cdot (45 - 5) \text{ °С}}{330000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}} \cdot (5 - 0) \text{ °С}} = \frac{4200 \cdot 0.177 \cdot 40}{330000 + 4200 \cdot 5} = \frac{29736}{351000} = 0.0847 \text{ кг} = 84.7 \text{ г}$$

Ответ: 84,7 г