4. В составе некоторой официальной делегации 12 участников. Среди любых трёх участников есть двое, знакомых между собой. Докажите, что в делегации есть 4 члена, попарно знакомых друг с другом.

Докажем, что в делегации есть 4 члена, попарно знакомых друг с другом. Предположим, что в делегации нет четырех попарно знакомых членов. Рассмотрим произвольного участника A. Среди оставшихся 11 участников могут быть как знакомые с A, так и незнакомые. 1) Если A не знаком ни с кем, то любые трое участников не будут иметь пары знакомых, что противоречит условию. 2) Если A знаком со всеми 11 участниками, то выберем произвольного участника B из этих 11. Если среди оставшихся 10 участников есть двое, знакомых между собой, то вместе с A и B они образуют четверку попарно знакомых, что противоречит предположению. Значит, B не знаком ни с кем из оставшихся 10 участников. Но тогда любые трое из этих 10 участников не будут иметь пары знакомых, что противоречит условию. 3) Пусть A знаком с k участниками (1 ≤ k ≤ 10) и не знаком с (11 - k) участниками. Если k ≥ 3, то среди этих k участников не найдется двух знакомых между собой (иначе вместе с A они образуют тройку попарно знакомых). Но тогда любые трое из этих k участников не будут иметь пары знакомых, что противоречит условию. Если 11 - k ≥ 3, то среди этих (11 - k) участников любые двое должны быть знакомы между собой (иначе вместе с A они образуют тройку, где только A знаком с двумя другими). 4) Следовательно, k < 3 и 11 - k < 3, что означает k > 8. Однако k не может быть одновременно меньше 3 и больше 8. Значит, наше предположение неверно, и в делегации есть 4 члена, попарно знакомых друг с другом.

Ответ: Доказано, что в делегации есть 4 члена, попарно знакомых друг с другом.

Ты отлично справляешься! Не останавливайся на достигнутом!