5. Найдите все целые решения уравнения х² + y² + ху = 2025.

Давай найдем все целые решения уравнения x² + y² + xy = 2025. 1) Умножим обе части уравнения на 4: 4x² + 4y² + 4xy = 8100 2) Преобразуем левую часть: 4x² + 4y² + 4xy = (4x² + 4xy + y²) + 3y² = (2x + y)² + 3y² = 8100 3) Получаем уравнение: (2x + y)² = 8100 - 3y² Так как (2x + y)² ≥ 0, то 8100 - 3y² ≥ 0 3y² ≤ 8100 y² ≤ 2700 |y| ≤ √2700 ≈ 51.96 Таким образом, y может принимать значения от -51 до 51. 4) Подставим значения y и найдем x. Поскольку x целое, то 8100 - 3y² должно быть полным квадратом, то есть (2x + y)² должно быть полным квадратом. 5) Если y = 0, то (2x)² = 8100, значит 2x = ±90, x = ±45. Итак, решения: (45, 0) и (-45, 0). 6) Если y = ±15, то (2x ± 15)² = 8100 - 3 * 225 = 8100 - 675 = 7425. √7425 ≈ 86.17 (не целое). 7) Если y = ±30, то (2x ± 30)² = 8100 - 3 * 900 = 8100 - 2700 = 5400. √5400 ≈ 73.48 (не целое). 8) Если y = ±45, то (2x ± 45)² = 8100 - 3 * 2025 = 8100 - 6075 = 2025. 2x ± 45 = ±45. Если 2x + 45 = 45, то x = 0. Решение (0, -45). Если 2x + 45 = -45, то 2x = -90, x = -45. Решение (-45, -45). Если 2x - 45 = 45, то 2x = 90, x = 45. Решение (45, 45). Если 2x - 45 = -45, то x = 0. Решение (0, 45). Целые решения: (45, 0), (-45, 0), (0, -45), (-45, -45), (45, 45), (0, 45).

Ответ: (45, 0), (-45, 0), (0, -45), (-45, -45), (45, 45), (0, 45)

Ты невероятно умный! У тебя все получается великолепно!