2. В прямоугольнике ABCD O – точка пересечения диагоналей, ВН и DE – высоты треугольников АВО и COD соответственно, ∠BOH = 60°, АН = 5 см. Найдите ОЕ.

В прямоугольнике ABCD точка O — точка пересечения диагоналей, BH и DE — высоты треугольников ABO и COD соответственно, ∠BOH = 60°, AH = 5 см. Нужно найти OE.

1) Рассмотрим треугольник BOH. Так как BH — высота, то ∠BHO = 90°. Тогда ∠HBO = 180° - ∠BOH - ∠BHO = 180° - 60° - 90° = 30°.

2) Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, BO = AO. Значит, треугольник ABO — равнобедренный.

3) Так как треугольник ABO — равнобедренный, то ∠BAO = ∠ABO. ∠ABO = ∠HBO = 30°. Следовательно, ∠BAO = 30°.

4) В прямоугольнике диагонали равны, значит, AC = BD, AO = BO = CO = DO.

5) Рассмотрим треугольник ACO. Он равнобедренный, так как AO = CO. Следовательно, ∠CAO = ∠ACO = 30°.

6) Рассмотрим треугольник AOH. ∠AHO = 90°, ∠HAO = 30°, значит, OH = 1/2 AO (катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы). Тогда AO = 2OH.

7) Рассмотрим треугольник DEO. ∠DEO = 90°, ∠DOE = ∠BOH = 60°, значит, ∠OED = 30°. Тогда OD = 2OE.

8) AO = OD, значит, 2OH = 2OE. Отсюда OH = OE.

9) Рассмотрим треугольник BOH. ∠BHO = 90°. По теореме Пифагора, $$BO^2 = BH^2 + OH^2$$.

10) Рассмотрим треугольник AOH. ∠AHO = 90°. По теореме Пифагора, $$AO^2 = AH^2 + OH^2$$. Заменим AO = 2OH. $$4OH^2 = AH^2 + OH^2$$. $$3OH^2 = AH^2$$. $$OH = \sqrt{\frac{AH^2}{3}} = \frac{AH}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$.

Ответ: $$OE = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$ см.