3) В ромбе ABCD на диагоналях отложены равные отрезки OB = OD = OM =ON. Докажите, что MBND - квадрат.

Дано: Ромб ABCD, OB = OD = OM = ON, где M лежит на BD, а N лежит на AC.

Доказать: MBND - квадрат.

1. Диагонали ромба ABCD перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Тогда AC ⊥ BD и AO = OC, BO = OD.
2. По условию, OM = ON = OB = OD. Значит, диагонали четырехугольника MBND пересекаются в точке O и делятся в этой точке пополам. Следовательно, MBND - параллелограмм.
3. Так как диагонали ромба ABCD перпендикулярны, то BD ⊥ AC. Следовательно, MN ⊥ BD.
4. По условию OB = OD = OM = ON, а значит диагонали параллелограмма MBND равны. Таким образом MBND - прямоугольник.
5. Диагонали прямоугольника MBND перпендикулярны. Следовательно, MBND - квадрат.

Доказано.