В равнобедренный треугольник с боковой стороной 15 см и периметром 54 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Пусть основание треугольника равно 'a'. Тогда 2 * 15 + a = 54, откуда a = 54 - 30 = 24 см. Площадь треугольника по формуле Герона: s = (15+15+24)/2 = 27. Площадь = √(27 * (27-15) * (27-15) * (27-24)) = √(27 * 12 * 12 * 3) = √(3³ * 12² * 3) = √(3⁴ * 12²) = 3² * 12 = 9 * 12 = 108. Радиус вписанной окружности r = Площадь / полупериметр = 108 / 27 = 4 см.