23 В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что угол AFC равен 150°. Найдите СК, если FK=6√3.

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, AD - большее основание. Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке F. AF пересекает CD в точке K. ∠AFC = 150°, FK = 6√3. Нужно найти CK.

1. Т.к. AF и CF - биссектрисы углов А и С, то ∠DAF = ∠BAF и ∠BCF = ∠DCF. ∠AFC = 150°, следовательно, ∠FAC + ∠FCA = 180° - 150° = 30°. Тогда ∠BAD + ∠BCD = 2(∠FAC + ∠FCA) = 2 * 30° = 60°.

2. В трапеции ABCD углы при основании в сумме дают 180°, значит, ∠BAD + ∠ADC = 180° и ∠BCD + ∠ABC = 180°. Т.к. трапеция равнобедренная, то ∠BAD = ∠ABC и ∠ADC = ∠BCD. Из этого следует, что ∠BAD = ∠ABC = 60° / 2 = 30° и ∠ADC = ∠BCD = (180° - 30°) = 150°.

3. Рассмотрим треугольник AKD. ∠DAK = ∠BAD / 2 = 30° / 2 = 15°. ∠ADK = 150°. Тогда ∠AKD = 180° - 15° - 150° = 15°. Т.к. ∠DAK = ∠AKD = 15°, то треугольник AKD равнобедренный, и AD = DK.

4. Рассмотрим треугольник AFC. ∠FAC = ∠BAD / 2 = 30° / 2 = 15°. ∠FCA = ∠BCD / 2 = 150° / 2 = 75°. Тогда ∠AFC = 180° - 15° - 75° = 90°. Значит, треугольник AFC прямоугольный.

5. Рассмотрим треугольник FKC. ∠FKC = ∠AKD = 15° (вертикальные углы). ∠FCK = ∠DCF = ∠BCD / 2 = 150° / 2 = 75°. Тогда ∠KFC = 180° - 15° - 75° = 90°. Значит, треугольник FKC прямоугольный.

6. В прямоугольном треугольнике FKC катет CK лежит против угла ∠CFK = 15°. Тогда CK = FK * tg(15°). tg(15°) = tg(45° - 30°) = (tg(45°) - tg(30°)) / (1 + tg(45°) * tg(30°)) = (1 - 1/√3) / (1 + 1 * 1/√3) = (√3 - 1) / (√3 + 1) = (√3 - 1)^2 / (3 - 1) = (3 - 2√3 + 1) / 2 = (4 - 2√3) / 2 = 2 - √3.

7. CK = FK * tg(15°) = 6√3 * (2 - √3) = 12√3 - 18 = 6(2√3 - 3).

Ответ: $$6(2\sqrt{3} - 3)$$