24 Известно, что около четырёхугольника АBCD можно описать окружность и продолжения сторон AD и ВС четырёхугольника пересекаются в точке К. Докажите, что треугольники КАВ и КCD подобны.

Докажем, что треугольники KAB и KCD подобны.

1. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, следовательно, ∠BAD + ∠BCD = 180° и ∠ABC + ∠ADC = 180°.

2. Рассмотрим треугольник KAB. ∠KAB = 180° - ∠BAD, а ∠KCD = ∠BCD. Значит, ∠KAB + ∠KCD = (180° - ∠BAD) + ∠BCD = 180° - (∠BAD + ∠BCD) = 180° - 180° = 0°. Следовательно, ∠KAB = ∠KCD.

3. Рассмотрим треугольник KBA. ∠KBA = 180° - ∠ABC, а ∠KDA = ∠ADC. Значит, ∠KBA + ∠KDA = (180° - ∠ABC) + ∠ADC = 180° - (∠ABC + ∠ADC) = 180° - 180° = 0°. Следовательно, ∠KBA = ∠KDA.

4. В треугольниках KAB и KCD: ∠KAB = ∠KCD и ∠KBA = ∠KDA. Значит, треугольники KAB и KCD подобны по двум углам.

Ответ: Треугольники КАВ и KCD подобны.