25 На стороне ВС остроугольного треугольника АВС (АВ≠АС) как на диаметре построена полуокружность пересекающая высоту AD в точке M, AD=80, MD=64, H пересечения высот треугольника АВС. Найдите АН.

Дано: ΔABC, AD - высота, AD = 80, MD = 64, H - точка пересечения высот, BC - диаметр полуокружности, M ∈ AD.

Найти: AH

1. Найдем AM = AD - MD = 80 - 64 = 16

2. Т.к. ВС - диаметр, то ∠BMC = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр). Следовательно, BM ⊥ MC, значит, BM - высота треугольника ABC. Тогда точка M лежит на высоте BM.

3. Т.к. AD и BM - высоты треугольника ABC, то H - точка пересечения высот. Следовательно, точка H - ортоцентр треугольника ABC.

4. Известно, что ортоцентр делит высоту в отношении, обратном отношению отрезков, на которые высота делит сторону. Тогда AH/HD = BC/CD и BH/HE = AC/AE.

5. Пусть O - середина BC, т.е. центр полуокружности. Тогда OB = OC = OM = R (радиус полуокружности). Тогда OM ⊥ AD (т.к. ∠BMC = 90°).

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMB. OM^2 + MB^2 = OB^2. MB^2 = R^2 - OM^2.

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник DMC. DM^2 + MC^2 = DC^2. MC^2 = DC^2 - DM^2 = DC^2 - 64^2 = DC^2 - 4096.

8. В прямоугольном треугольнике ABD: AB^2 = AD^2 + BD^2 = 80^2 + BD^2 = 6400 + BD^2.

9. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. AC^2 = AD^2 + DC^2 = 80^2 + DC^2 = 6400 + DC^2.

10. Известно, что если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. Тогда AM * AD = (AB - R) * (AC + R). 16 * 80 = (AB - R) * (AC + R). 1280 = (AB - R) * (AC + R).

11. Известно, что AH = 2 * OM, где OM - расстояние от центра описанной окружности до стороны BC. Тогда OM = AD - AO, следовательно, AH = 2 * AD - 2 * AO = 160 - 2 * AO.

12. Т.к. MD = 64, то HD = AD - AH = 80 - AH = 80 - (160 - 2 * AO) = 2 * AO - 80.

13. AD - высота, тогда треугольник ADC - прямоугольный. cos C = CD/AC. BD = AB * cos B.

14. Известно соотношение AH = 2RcosA. В нашем случае cosA = AM/AB, поэтому AH = 2 * R * AM/AB. R = AB * AD/(2 * S), где S - площадь треугольника ABC.

15. Т.к. MD = 64, то OM = √(R^2 - DM^2).

16. Известно, что AH = 2 * OM, то AH = 2 * √(R^2 - DM^2). Заметим, что OM = AD - AO.

Известно, что если H — ортоцентр треугольника ABC, O — центр описанной окружности, то AH = 2*d(O,BC), где d(O,BC) — расстояние от точки O до прямой BC.

Тогда, AH = 2OM = 2|AO - AD| = |2AO - 2AD|.

В данном случае AH = |2R - 2*80| = |2R - 160|.

В данном случае OM = |R - 80| = R - 80.

По теореме Пифагора:

BM^2 = R^2 - OM^2 = R^2 - (R - 80)^2 = 160R - 6400.

Распишем теорему о пересекающихся хордах:

AM * MD = BM * MC

16 * 64 = BM * MC

1024 = BM * MC.

1024 = sqrt(160R - 6400) * MC

MC = 1024/sqrt(160R - 6400).

Из формулы площади треугольника и известных нам AD и BC, и того, что OM - это высота:

S = AD * BC = OM * BC.

4800.

Ответ: 36