4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 120, а высота ВД из вершины В равна 9 см. Найти ВС

4. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором \(\angle B = 120^{\circ}\). BD - высота, следовательно, она является и биссектрисой, и медианой. Значит, \(\angle ABD = \angle CBD = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. \(\angle BCD = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}\) (так как углы при основании равнобедренного треугольника равны). Так как BD = 9 см, а \(\angle BCD = 30^{\circ}\), то \(\tan{30^{\circ}} = \frac{BD}{DC}\). Отсюда \(DC = \frac{BD}{\tan{30^{\circ}}} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 9\sqrt{3}\). Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. \(\cos{30^{\circ}} = \frac{DC}{BC}\). Отсюда \(BC = \frac{DC}{\cos{30^{\circ}}} = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 18\). Ответ: BC = 18 см.