1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 120°. Высота треугольника, про- ведённая из вершины А, равна 7. Найдите длину стороны АС.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и углом B = 120°. Высота, проведённая из вершины A, равна 7.

1) Проведём высоту AH к боковой стороне BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол ABH = 120°, следовательно, угол BAH = 90° - (180° - 120°) = 30°.

2) В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно, AB = 2AH = 2 * 7 = 14.

3) Треугольник ABC равнобедренный, следовательно, AB = BC = 14.

4) Проведём высоту BD к основанию AC. Высота в равнобедренном треугольнике является и медианой, и биссектрисой. Следовательно, угол ABD = 120°/2 = 60°, AD = DC, BD - высота и медиана.

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. cos угла ABD = BD/AB, BD = AB * cos угла ABD = 14 * cos 60° = 14 * 1/2 = 7.

6) По теореме Пифагора AD = √(AB² - BD²) = √(14² - 7²) = √(196 - 49) = √147 = 7√3.

7) AC = 2AD = 2 * 7√3 = 14√3.

Ответ: 14√3