7) (*) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 20см. АВ=ВС =40см. На стороне ВС взята точка Н так, что ВH:CH = 3:1. Найдите длину АН.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC = 20 см и AB = BC = 40 см, точка H на стороне BC делит ее в отношении BH:CH = 3:1. Найдем длину AH.

Пусть BH = 3x, CH = x. Тогда BC = BH + CH = 3x + x = 4x. Так как BC = 40 см, то 4x = 40, x = 10 см. Значит, BH = 3 × 10 = 30 см, CH = 10 см.

Проведем высоту BD к основанию AC. Так как треугольник равнобедренный, то BD является медианой, и AD = DC = AC / 2 = 20 / 2 = 10 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора $$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 40^2 - 10^2 = 1600 - 100 = 1500$$. BD = $$\sqrt{1500}$$ = 10$$\sqrt{15}$$ см.

Проведем высоту HE к стороне AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник HEC, подобный треугольнику ABD (углы равны). Тогда $$\frac{HE}{BD} = \frac{CH}{BC}$$, $$\frac{HE}{10\sqrt{15}} = \frac{10}{40}$$.

HE = $$\frac{10\sqrt{15} \cdot 10}{40} = \frac{10\sqrt{15}}{4} = \frac{5\sqrt{15}}{2}$$ см.

EC = $$\frac{CH \cdot AD}{AB} = \frac{10 \cdot 10}{40} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$$ см.

AE = AC - EC = 20 - 2.5 = 17.5 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHE. По теореме Пифагора $$AH^2 = AE^2 + HE^2 = (17.5)^2 + (\frac{5\sqrt{15}}{2})^2 = 306.25 + \frac{25 \cdot 15}{4} = 306.25 + \frac{375}{4} = 306.25 + 93.75 = 400$$.

AH = $$\sqrt{400}$$ = 20 см.

Ответ: 20 см