5) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведены высота СН. Чему равен отрезок ВН, если АС=6см, АН=4см?

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. По теореме Пифагора $$CH^2 = AC^2 - AH^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20$$.

Значит CH = $$\sqrt{20}$$ = 2$$\sqrt{5}$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. По теореме Пифагора $$BC^2 = BH^2 + CH^2$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$.

AB = AH + BH = 4 + BH. Тогда $$(4 + BH)^2 = 6^2 + BC^2$$.

$$16 + 8BH + BH^2 = 36 + BC^2$$.

Из прямоугольного треугольника BHC BC^2 = BH^2 + CH^2 = BH^2 + 20.

Подставим BC^2 в уравнение: $$16 + 8BH + BH^2 = 36 + BH^2 + 20$$.

$$8BH = 36 + 20 - 16 = 40$$.

BH = 40 : 8 = 5 см.

Ответ: 5 см