120 В равнобедренном треугольнике ABC с основан проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмеч соответственно точки Е и F так, что АЕ = CF. Докажи a) ABDE = ABDF; 6) AADE = ACDF.

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена медиана $$BD$$. На сторонах $$AB$$ и $$CB$$ соответственно отмечены точки $$E$$ и $$F$$ так, что $$AE = CF$$.

Докажем, что:

a) $$ΔBDE = ΔBDF$$;

б) $$ΔADE = ΔCDF$$.

1) Так как треугольник $$ABC$$ - равнобедренный, то $$AB = BC$$, и $$∠BAC = ∠BCA$$.

2) Так как $$BD$$ - медиана, то $$AD = CD$$.

3) Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$.

• $$AB = BC$$ как боковые стороны равнобедренного треугольника.
• $$AD = CD$$ как отрезки, образованные медианой.
• $$BD$$ - общая сторона.

Следовательно, треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$ равны по трем сторонам, а значит, равны и углы:

$$∠ABD = ∠CBD$$,

$$∠ADB = ∠CDB$$,

$$∠BAD = ∠BCD$$.

4) Рассмотрим пункт а). Докажем, что $$ΔBDE = ΔBDF$$.

По условию $$AE = CF$$. $$AB = BC$$, тогда можно найти $$BE = BF$$.

$$BE = AB - AE$$,

$$BF = BC - CF$$,

$$BE = BF$$.

Тогда треугольники $$BDE$$ и $$BDF$$ равны по двум сторонам и углу между ними.

• $$BD$$ - общая сторона.
• $$BE = BF$$.
• $$∠ABD = ∠CBD$$.

б) Докажем, что $$ΔADE = ΔCDF$$.

В треугольниках $$ADE$$ и $$CDF:$$

• $$AD = CD$$,
• $$AE = CF$$,
• $$∠DAE = ∠DCF$$.

Следовательно, треугольники $$ADE$$ и $$CDF$$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: а) $$ΔBDE = ΔBDF$$, б) $$ΔADE = ΔCDF$$.