В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) проведена медиана \(BM\). Периметр треугольника \(ABC\) равен 40 см, а периметр треугольника \(ABM\) равен 30 см. Найдите длину медианы \(BM\).

Пошаговое решение:

1. Периметр треугольника \(ABC\) равен \(AB + BC + AC = 40\) см.
2. Периметр треугольника \(ABM\) равен \(AB + AM + BM = 30\) см.
3. Так как \(BM\) - медиана, то \(AM = \frac{1}{2}AC\), а так как \(ABC\) - равнобедренный, то \(AB = BC\).
4. Заменим \(BC\) на \(AB\) и \(AC\) на \(2AM\) в первом уравнении: \(AB + AB + 2AM = 40\), \(2AB + 2AM = 40\).
5. Разделим обе части уравнения на 2: \(AB + AM = 20\).
6. Теперь вычтем это уравнение из второго уравнения: \((AB + AM + BM) - (AB + AM) = 30 - 20\).
7. \(BM = 10\) см.

Ответ: 10 см