13. В прямоугольной трапеции АВСD с основаниями AD и ВС диагональ BD равна 10, а угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 5√3.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Находим высоту трапеции, затем большую боковую сторону.

В прямоугольной трапеции ABCD угол A прямой, следовательно, боковая сторона AB является высотой.
Рассмотрим треугольник ABD: он прямоугольный, угол A равен 45°, значит, угол ADB также равен 45°, и треугольник ABD – равнобедренный.
Следовательно, AB = AD.
По теореме Пифагора: \[BD^2 = AB^2 + AD^2\] Т.к. AB = AD: \[10^2 = 2AB^2\] \[AB^2 = 50\] \[AB = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]
Большая боковая сторона CD. Проведем высоту CH к основанию AD.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD: HD = AD - AH = AD - BC = 5√2 - 5√3
По теореме Пифагора: \[CD^2 = CH^2 + HD^2 = (5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2} - 5\sqrt{3})^2 = 50 + 25(2 - 2\sqrt{6} + 3) = 50 + 25(5 - 2\sqrt{6}) = 50 + 125 - 50\sqrt{6} = 175 - 50\sqrt{6}\] \[CD = \sqrt{175 - 50\sqrt{6}} = 5\sqrt{7 - 2\sqrt{6}} = 5\sqrt{( \sqrt{6} - 1)^2} = 5(\sqrt{6} - 1)\]

Ответ: \(5(\sqrt{6} - 1)\)