17. В параллелограмме ABCD биссектриса угла 4, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрез- ки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 10. Запишите решение и ответ.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Доказываем, что AM и DM - высоты, находим стороны параллелограмма, затем периметр.

Так как AM и DM перпендикулярны, то треугольник AMD - прямоугольный.
Сумма углов AMD, MAD и MDA равна 180°, значит, \[\angle MAD + \angle MDA = 90^\circ\]
Так как AM и DM - биссектрисы углов A и D, то: \[\angle A + \angle D = 2(\angle MAD + \angle MDA) = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ\]
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, следовательно, AM и DM - высоты параллелограмма.
Треугольник ABM: угол BAM равен половине угла A, то есть 30°. Тогда: \[BM = AB \cdot \cos 30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\]
AM является и высотой, и биссектрисой, то есть треугольник ABM - равнобедренный, AB = BM = 10.
Аналогично CM = CD = 10.
Сторона BC = BM + MC = 5√3 + 10.
Периметр параллелограмма: \[P = 2(AB + BC) = 2(10 + 5\sqrt{3} + 10) = 2(20 + 5\sqrt{3}) = 40 + 10\sqrt{3}\]

Ответ: \(40 + 10\sqrt{3}\)