729 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС ∠A = ∠B = 90°, ∠ACD = 90°, ВС = 4 см, AD = 16 см. Найдите углы С и Д трапеции.

Ответ: ∠C = arctg(4/3) + 90° ≈ 143.13°, ∠D = arctg(4/3) ≈ 53.13°

1. Шаг 1: Анализ условия и построение

• ABCD – прямоугольная трапеция с основаниями AD и BC.
• ∠A = ∠B = 90°.
• ∠ACD = 90°.
• BC = 4 см, AD = 16 см.

2. Шаг 2: Подобие треугольников

• Треугольники ABC и CAD подобны, так как ∠A = ∠B = 90° и ∠ACD = 90°.

3. Шаг 3: Нахождение высоты трапеции

• Из подобия треугольников ABC и CAD следует: \[\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{CD}\] \[AC^2 = AD \cdot BC = 16 \cdot 4 = 64\] \[AC = \sqrt{64} = 8 \text{ см}\]

4. Шаг 4: Нахождение стороны CD

• Используем теорему Пифагора для треугольника ACD: \[CD^2 + AC^2 = AD^2\] \[CD^2 = AD^2 - AC^2 = 16^2 - 8^2 = 256 - 64 = 192\] \[CD = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \text{ см}\]

5. Шаг 5: Нахождение высоты AB

• Из подобия треугольников ABC и CAD: \[\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{AC}\] \[AB = \frac{BC \cdot AD}{AC} = \frac{4 \cdot 16}{8} = 8 \text{ см}\]

6. Шаг 6: Нахождение угла D

• В прямоугольном треугольнике ACD: \[\tan(\angle D) = \frac{AC}{CD} = \frac{8}{8\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\] \[\angle D = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ\]

7. Шаг 7: Нахождение угла C

• Угол C равен сумме углов ACD и BCA: \[\angle C = \angle ACD + \angle BCA\]
• Угол BCA можно найти из треугольника ABC: \[\tan(\angle BCA) = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{4} = 2\] \[\angle BCA = \arctan(2) \approx 63.43^\circ\]
• Тогда \[\angle C = 90^\circ + \arctan(2) \approx 90^\circ + 63.43^\circ = 153.43^\circ\]

Ответ: ∠C = arctg(4/3) + 90° ≈ 143.13°, ∠D = arctg(4/3) ≈ 53.13°