На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка К так, что АК = 1/4 KD. Диагональ АС и отрезок ВК пересекаются в точке Р. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника АРК равна 1 см².

Решение:

1. Пусть площадь треугольника APK равна 1 см². Так как AK = (1/4)KD, то AD = AK + KD = AK + 4AK = 5AK. Значит, AK = (1/5)AD.

2. Треугольники APK и CPD подобны, так как AD || BC, углы PAK и PCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC, углы AKP и CBP также равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BK. Следовательно, AP/PC = AK/BC = AK/AD = (1/5)AD/AD = 1/5. Значит, PC = 5AP.

3. Тогда AC = AP + PC = AP + 5AP = 6AP. Значит, AP = (1/6)AC.

4. Рассмотрим треугольники APK и BKC. Они имеют общую высоту, опущенную из вершины K на прямую AC. Площадь треугольника BKC в 5 раз больше площади треугольника АPK, так как PC = 5AP. Значит, площадь треугольника BKC равна 5 см².

5. Так как AK = (1/4)KD, то KD = 4AK. Значит, площадь треугольника BKC = 5 cм², а площадь треугольника AKB = (1/4)площади треугольника BKD. Площадь треугольника AKB равна площади треугольника AKD. Треугольники AKD и BKC имеют равные основания AK и BC и равные высоты. Значит, площадь треугольника BKC = 5 cм², а площадь треугольника AKB = (1/4)площади треугольника BKD.

6. Рассмотрим треугольники АВК и KCD. Их площади относятся как AK/KD = 1/4. Площадь АВК = площади АВD - площади AKD. Площадь AKD относится к площади АВD, как AK к AD, т.е. 1/5. Значит, площадь АВК = (1-1/5) площади ABD = 4/5 площади ABD.

7. Площадь параллелограмма ABCD равна удвоенной площади треугольника ABD. Значит, площадь ABD = 1/2 площади параллелограмма ABCD.

8. Площадь APK = 1. AP/AC = 1/6, AK/AD = 1/5. Значит площадь АВС = 30 площадей АPK = 30. Площадь ABCD = 60.

Ответ: 60