Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания ВС. Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М, площадь треугольника АМН равна 4 см². Найдите площадь трапеции ABCD.

Пусть BC = x, тогда AD = 5x.

Площадь треугольника AMH = 4 см².

1. Рассмотрим треугольники ΔBMC и ΔDMA:

• ∠BCA = ∠CAD (накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC)
• ∠BMC = ∠DMA (вертикальные углы)

Следовательно, ΔBMC подобен ΔDMA по двум углам (AA).

2. Найдем коэффициент подобия (k) треугольников ΔBMC и ΔDMA:

$$k = \frac{BC}{AD} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5}$$

3. Рассмотрим треугольники ΔAMH и ΔCMD. Высота BH пересекает AC в точке M. Значит, AM - медиана. Значит площади этих треугольников относятся друг к другу как 1 к 5.

Площадь ΔCMD = 5* Площадь ΔAMH = 5 * 4 = 20

4. Рассмотрим треугольники ΔABC и ΔACD.

Отношение площадей этих треугольников равно отношению длин оснований. BC = 1/5 AD.

Тогда SABCD = SΔABC + SΔACD.

5. Находим площадь трапеции ABCD:

По условию трапеция равнобедренная, значит, AB = CD.

Пусть высота BH = h, значит, площадь трапеции равна:

$$S = \frac{BC+AD}{2}h = \frac{x+5x}{2}h=3xh$$

Треугольники AMH и CDM подобны, значит, $$\frac{AM}{MC} = \frac{AH}{CD} =\frac{1}{5}$$

Найдем площадь ABC:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{ADC}} = \frac{BC}{AD} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5}$$

$$\frac{S_{ABC}}{S_{ADC}} = \frac{BM}{MD} = \frac{1}{5}$$

Площади треугольника AMH и BMH равны, значит

$$\frac{AH}{HD} = \frac{AM}{MC} = \frac{1}{5}$$

Из прямоугольного треугольника ABH: AH = AD -HD

$$\frac{AH}{AH+HD} = \frac{1}{6}$$

Площадь AHB и ADH относятся друг к другу как

SΔAHB / SΔADH =AH /HD

SΔAHB + SΔADH = SΔABD

SΔAHB = 4 + BMH = 8+24 = 32

SΔABD = (5х+5х)* h /2 = 10х * h / 2 = 5xh

120 = 5xh

xh = 24

Sabcd = ( AD + BC) *h / 2

(x+5x)* h / 2 =3 xh

3* xh = 3*24 =72

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 72 см².