025.31. В прямоугольном треугольнике один катет меньше гипо- тенузы на 8 см, а другой - на 4 см. Найдите гипо- тенузу.

Пусть гипотенуза равна $$x$$ см. Тогда один катет равен $$(x-8)$$ см, а другой $$(x-4)$$ см.

По теореме Пифагора:

$$x^2 = (x-8)^2 + (x-4)^2$$

$$x^2 = x^2 - 16x + 64 + x^2 - 8x + 16$$

$$x^2 - 24x + 80 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256$$

$$\sqrt{D} = 16$$

$$x_1 = \frac{24 + 16}{2} = \frac{40}{2} = 20$$

$$x_2 = \frac{24 - 16}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Так как катеты меньше гипотенузы, то $$x=4$$ не подходит, потому что $$x-8$$ будет отрицательным.

Следовательно, гипотенуза равна 20 см.

Ответ: 20