025.33. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 840. Найдите эти числа.

Пусть первое число равно $$n$$, тогда второе число равно $$(n+1)$$.

Квадрат суммы этих чисел: $$(n + (n+1))^2 = (2n+1)^2$$.

Сумма квадратов этих чисел: $$n^2 + (n+1)^2$$.

По условию задачи:

$$(2n+1)^2 = n^2 + (n+1)^2 + 840$$

$$4n^2 + 4n + 1 = n^2 + n^2 + 2n + 1 + 840$$

$$4n^2 + 4n + 1 - 2n^2 - 2n - 1 - 840 = 0$$

$$2n^2 + 2n - 840 = 0$$

$$n^2 + n - 420 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681$$

$$\sqrt{D} = 41$$

$$n_1 = \frac{-1 + 41}{2} = \frac{40}{2} = 20$$

$$n_2 = \frac{-1 - 41}{2} = \frac{-42}{2} = -21$$

Так как числа натуральные, то $$n=-21$$ не подходит.

Первое число равно 20, тогда второе число равно 20+1=21.

Ответ: 20 и 21