025.32. Cумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 307. Найдите эти числа.

Пусть первое число равно $$n$$, тогда второе число равно $$(n+1)$$.

Сумма квадратов этих чисел: $$n^2 + (n+1)^2$$.

Произведение этих чисел: $$n(n+1)$$.

По условию задачи:

$$n^2 + (n+1)^2 = n(n+1) + 307$$

$$n^2 + n^2 + 2n + 1 = n^2 + n + 307$$

$$2n^2 + 2n + 1 - n^2 - n - 307 = 0$$

$$n^2 + n - 306 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306) = 1 + 1224 = 1225$$

$$\sqrt{D} = 35$$

$$n_1 = \frac{-1 + 35}{2} = \frac{34}{2} = 17$$

$$n_2 = \frac{-1 - 35}{2} = \frac{-36}{2} = -18$$

Так как числа натуральные, то $$n=-18$$ не подходит.

Первое число равно 17, тогда второе число равно 17+1=18.

Ответ: 17 и 18