В прямоугольном треугольнике катет ВС и гипотенуза АС равны 5 и 13 соответственно. Найдите площадь треугольника АСМ, где СМ – медиана треугольника АВС. Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника АВС равна половине произведения его катетов. Катет АВ найдем по теореме Пифагора:

$$ АС^2 = АВ^2 + ВС^2 $$ $$ АВ = \sqrt{АС^2 - ВС^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 $$

Площадь треугольника АВС:

$$ S_{АВС} = \frac{1}{2} × АВ × ВС = \frac{1}{2} × 12 × 5 = 30 $$

Медиана СМ делит треугольник АВС на два равновеликих треугольника, то есть площади треугольников АСМ и ВСМ равны. Тогда площадь треугольника АСМ равна половине площади треугольника АВС:

$$ S_{АСМ} = \frac{1}{2} × S_{АВС} = \frac{1}{2} × 30 = 15 $$

Ответ: 15