14. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АС проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4 : 7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Пусть O - точка пересечения серединного перпендикуляра к гипотенузе AC с катетом BC. Тогда AO - отрезок, соединяющий точку O с вершиной A, и он делит угол C на две части, относящиеся как 4:7. Пусть ∠OAC = 4x, ∠BAC = 7x. Тогда ∠C = 90°. Так как серединный перпендикуляр пересекает гипотенузу в ее середине, то AO = CO (свойство серединного перпендикуляра). Значит, треугольник AOC - равнобедренный, следовательно, ∠OAC = ∠OCA = 4x. В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90 - 7x. Поскольку ∠C = 4x + (7x - 4x), то ∠C = 90° - 7x Значит, 90° - 7x = 4x 11x = 90° x = $$\frac{90}{11}$$° ∠OCA = 4x = $$4*\frac{90}{11} = \frac{360}{11}$$° $$\approx$$ 32.73° ∠BAC = 7x = $$7*\frac{90}{11} = \frac{630}{11}$$° $$\approx$$ 57.27° Угол C, разделенный отрезком AO, равен 4x: $$4 * \frac{90}{11} = \frac{360}{11}$$ = 32.73° Отрезок делит угол треугольника в отношении 4:7. Меньшая часть при катете. Найдите этот угол, т.е меньшая часть, которая равна 4x. Ответ:$$\frac{360}{11}$$° или 32.73°.