Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 25, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 7. Найдите sin ∠ABC.
Ответ:
Краткая запись:
- Прямоугольный треугольник ABC
- AC = 25
- CH = 7 (высота к гипотенузе)
- Найти: sin ∠ABC — ?
Краткое пояснение: Чтобы найти синус угла, нужно использовать отношение противолежащего катета к гипотенузе. В данном случае, зная высоту, мы можем найти другую часть гипотенузы, а затем и саму гипотенузу, чтобы вычислить синус.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Используем свойство высоты прямоугольного треугольника: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. То есть, \(AC^2 = AH \cdot AB\). Нам нужно найти AH.
- Шаг 2: Также, квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: \(CH^2 = AH \cdot HB\).
- Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора: \(AC^2 = AH^2 + CH^2\).
- Шаг 4: Подставляем известные значения: \(25^2 = AH^2 + 7^2\) \(625 = AH^2 + 49\) \(AH^2 = 625 - 49\) \(AH^2 = 576\) \(AH = \sqrt{576}\) \(AH = 24\).
- Шаг 5: Теперь найдем гипотенузу AB, используя \(AC^2 = AH \cdot AB\): \(25^2 = 24 \cdot AB\) \(625 = 24 \cdot AB\) \(AB = \frac{625}{24}\).
- Шаг 6: Находим sin ∠ABC. В прямоугольном треугольнике ABC, \( \sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} \).
- Шаг 7: Подставляем значения: \( \sin \angle ABC = \frac{25}{\frac{625}{24}} = 25 \cdot \frac{24}{625} = \frac{24}{25} \).
Ответ: $$\frac{24}{25}$$
Похожие
