В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектрисы CD и AE пересекаются в точке O. ∠AOC = 105°. Найдите острые углы треугольника ABC.

Решение:

Пусть \(\angle BAC = \alpha\) и \(\angle ABC = \beta\). Так как \(\triangle ABC\) прямоугольный и \(\angle C = 90^\circ\), то \(\alpha + \beta = 90^\circ\).

Поскольку AE — биссектриса угла A, то \(\angle CAE = \frac{\alpha}{2}\). Рассмотрим треугольник \(\triangle AOC\). В этом треугольнике известны углы \(\angle AOC = 105^\circ\) и \(\angle CAO = \frac{\alpha}{2}\). Тогда угол \(\angle ACO\) можно найти как:

\[\angle ACO = 180^\circ - \angle AOC - \angle CAO = 180^\circ - 105^\circ - \frac{\alpha}{2} = 75^\circ - \frac{\alpha}{2}\]

Так как CD — биссектриса угла C, то \(\angle ACD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\). Следовательно, \(\angle ACO = 45^\circ\). Таким образом:

\[75^\circ - \frac{\alpha}{2} = 45^\circ\] \[\frac{\alpha}{2} = 30^\circ\] \[\alpha = 60^\circ\]

Теперь найдем угол \(\beta\):

\[\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\]

Ответ: \(\angle BAC = 60^\circ\) и \(\angle ABC = 30^\circ\).

Отлично! Продолжай решать задачи, и ты станешь настоящим экспертом в геометрии!