2. В прямоугольнике SDKM точка Z является точкой пересечения диагоналей. \(\angle SMD = 30^\circ\), DM = 6 см. Найдите углы и периметр треугольника SZD.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, SZ = ZD = MZ = ZK. Так как \(\angle SMD = 30^\circ\), то \(\angle SZD = \angle SMD = 30^\circ\) (как вертикальные углы). Треугольник SZD – равнобедренный, так как SZ = ZD. Следовательно, \(\angle SDZ = \angle DSZ\). Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, \[\angle SDZ + \angle DSZ + \angle SZD = 180^\circ\] Так как \(\angle SDZ = \angle DSZ\), то \[2 \cdot \angle SDZ + 30^\circ = 180^\circ\] \[2 \cdot \angle SDZ = 150^\circ\] \[\angle SDZ = 75^\circ\] Итак, \(\angle SDZ = \angle DSZ = 75^\circ\). Чтобы найти периметр треугольника SZD, нужно найти длины сторон SZ и SD. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то SZ = \(\frac{1}{2}\)SK. Рассмотрим треугольник SMD. Он прямоугольный, так как SDKM - прямоугольник, и \(\angle SDM = 90^\circ\). \(DM = 6\) см - катет, противолежащий углу 30°. Следовательно, \(SM = 2 \cdot DM = 2 \cdot 6 = 12\) см. Тогда \(SZ = \frac{1}{2} \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\) см. Чтобы найти SD, воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике SMD: \[SD^2 + DM^2 = SM^2\] \[SD^2 = SM^2 - DM^2\] \[SD^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108\] \[SD = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\) см. Периметр треугольника SZD равен: \[P = SZ + ZD + SD = 6 + 6 + 6\sqrt{3} = 12 + 6\sqrt{3} = 6(2 + \sqrt{3})\] см. Ответ: \(\angle SDZ = \angle DSZ = 75^\circ\), \(\angle SZD = 30^\circ\), периметр равен \(6(2 + \sqrt{3})\) см.