17. В прямоугольнике диагональ равна 16, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны равна 8. Найдите площадь прямо- угольника, умноженную на √3. Ответ:

Пусть дан прямоугольник ABCD, AC = 16 - диагональ, ∠CAD = 30°, AD = 8. Необходимо найти площадь прямоугольника, умноженную на \(\sqrt{3}\).

1) Рассмотрим \(\triangle\) CAD - прямоугольный. Катет AD, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы AC, то есть AD = \(\frac{1}{2}\)AC.

2) По теореме Пифагора найдем CD:

$$\begin{aligned} &CD^2 = AC^2 - AD^2 \\ &CD^2 = 16^2 - 8^2 \\ &CD^2 = 256 - 64 \\ &CD^2 = 192 \\ &CD = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3} \end{aligned}$$

3) Площадь прямоугольника ABCD равна:

$$\begin{aligned} &S = AD \cdot CD \\ &S = 8 \cdot 8\sqrt{3} \\ &S = 64\sqrt{3} \end{aligned}$$

4) Найдем площадь прямоугольника, умноженную на \(\sqrt{3}\):

$$\begin{aligned} &64\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 64 \cdot 3 = 192 \end{aligned}$$

Ответ: 192