5. В правильной треугольной пирамиде $$SABC$$ с вершиной $$S$$ биссектрисы треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$O$$. Площадь треугольника $$ABC$$ равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка $$OS$$.

Площадь правильного треугольника $$ABC$$ равна $$S_{ABC} = 2$$.

Объём пирамиды равен $$V = 6$$.

Найти длину отрезка $$OS$$.

Решение:

Объём пирамиды можно вычислить по формуле:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h$$,

где $$S_{осн}$$ - площадь основания, $$h$$ - высота пирамиды.

В нашем случае, основание - треугольник $$ABC$$, и высота - отрезок $$OS$$. Подставим известные значения:

$$6 = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot OS$$

Решим уравнение относительно $$OS$$:

$$OS = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$$

Ответ: 9