В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 4 см, а боковое ребро - 5 см. Найдите полную поверхность пирамиды.

• Шаг 1: Найдем сторону основания пирамиды.

Пусть сторона основания равна a, тогда половина стороны a/2. Апофема пирамиды равна 4 см, а боковое ребро - 5 см.

По теореме Пифагора:

\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 4^2 = 5^2\] \[\frac{a^2}{4} + 16 = 25\] \[\frac{a^2}{4} = 9\] \[a^2 = 36\] \[a = 6\]

• Шаг 2: Найдем площадь основания пирамиды.

Основание - квадрат, поэтому площадь основания:

\[S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \, \text{см}^2\]

• Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему:

\[S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h = \frac{1}{2} (4a) \cdot 4 = 2a \cdot 4 = 8a = 8 \cdot 6 = 48 \, \text{см}^2\]

• Шаг 4: Найдем полную поверхность пирамиды.

Полная поверхность пирамиды равна сумме площади основания и боковой поверхности:

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 48 = 84 \, \text{см}^2\]

• Шаг 5: Пересчитаем, что-то пошло не так в вычислениях

Площадь боковой грани:

\[S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \, \text{см}^2\]

Таких граней 4, следовательно:

\[S_{бок} = 4 \cdot 12 = 48 \, \text{см}^2\]

В основании квадрат:

\[S_{осн} = 6 \cdot 6 = 36 \, \text{см}^2\] \[S_{полн} = 36 + 48 = 84 \, \text{см}^2\]