В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 14. Запишите решение и ответ.

В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 14.

∠BAD = 60°, значит, ∠BAM = ∠MAD = 60° / 2 = 30°.

Так как AM ⊥ DM, то ∠AMD = 90°.

В треугольнике AMD: ∠ADM = 180° - ∠MAD - ∠AMD = 180° - 30° - 90° = 60°.

∠ADC = 2 * ∠ADM = 2 * 60° = 120°.

В параллелограмме ABCD: ∠BCD = ∠BAD = 60° и ∠ABC = ∠ADC = 120°.

∠AMB = 180° - ∠BAM - ∠ABC = 180° - 30° - 120° = 30°.

В треугольнике ABM: ∠AMB = ∠BAM = 30°, следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM = 14.

∠CDM = ∠MDA = 60°.

∠DMC = 180° - ∠MDA - ∠MCD = 180° - 60° - 60° = 60°.

Так как BM = MC, то BC = 2 * BM = 2 * 14 = 28.

Периметр параллелограмма ABCD равен: P = 2 * (AB + BC) = 2 * (14 + 28) = 2 * 42 = 84.

Ответ: 84