9. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС со стороной 10, а боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно $$5\sqrt{5}$$. Найдите полную поверхность пирамиды SABC.

Площадь полной поверхности пирамиды SABC равна сумме площади основания и площадей боковых граней.

1. Площадь правильного треугольника в основании равна: $$S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$$.
2. Так как SA перпендикулярно основанию, то SA является высотой пирамиды.
3. Боковые грани - прямоугольные треугольники. Площади боковых граней SAB и SAC равны: $$S_{SAB} = S_{SAC} = \frac{1}{2}SA \cdot AB = \frac{1}{2}5\sqrt{5} \cdot 10 = 25\sqrt{5}$$.
4. Найдем высоту боковой грани SBC, проведенную к стороне BC. Пусть это SH. Треугольник SAC - прямоугольный, тогда $$SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 + 10^2} = \sqrt{125 + 100} = \sqrt{225} = 15$$.
5. Треугольник SBC равнобедренный, так как SB = SC = 15. Тогда высота SH также является медианой. $$BH = \frac{1}{2}BC = 5$$.
6. $$SH = \sqrt{SB^2 - BH^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{225 - 25} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$.
7. Площадь боковой грани SBC равна: $$S_{SBC} = \frac{1}{2}BC \cdot SH = \frac{1}{2}10 \cdot 10\sqrt{2} = 50\sqrt{2}$$.
8. Полная поверхность пирамиды равна: $$S = S_{ABC} + S_{SAB} + S_{SAC} + S_{SBC} = 25\sqrt{3} + 25\sqrt{5} + 25\sqrt{5} + 50\sqrt{2} = 25\sqrt{3} + 50\sqrt{5} + 50\sqrt{2} \approx 25 \cdot 1.73 + 50 \cdot 2.24 + 50 \cdot 1.41 = 43.25 + 112 + 70.5 = 225.75$$.

Ответ: $$25\sqrt{3} + 50\sqrt{5} + 50\sqrt{2}$$.