5*. В окружности с центром О проведены диаметры МК и РН, причем ∠ОРК = 40°. Найдите ∠ОМН.

Так как МК и РН - диаметры, то О - центр окружности, и ОМ = ОК = ОР = ОН = r (радиус окружности).

Рассмотрим треугольник ОРК. Так как ОР = ОК, то треугольник ОРК - равнобедренный с основанием РК.

∠ОРК = ∠ОКР = 40° (углы при основании равнобедренного треугольника).

∠РОК = 180° - ∠ОРК - ∠ОКР = 180° - 40° - 40° = 100°.

∠МОН = ∠РОК = 100° (как вертикальные углы).

Рассмотрим треугольник OMH. Так как ОМ = ОН, то треугольник OMH - равнобедренный с основанием МН.

∠ОМН = ∠ОНМ = (180° - ∠МОН) / 2 = (180° - 100°) / 2 = 80° / 2 = 40°.

Ответ: ∠ОМН = 40°.