В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 36°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно, величина дуги AB равна удвоенной величине вписанного угла:

\( \text{arc}(AB) = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ} \)

Угол AOD — центральный угол, который опирается на дугу AD.

AC — диаметр, поэтому дуга ADC равна 180°.

\( \text{arc}(AD) = 180^{\circ} - \text{arc}(AB) \)

\( \text{arc}(AD) = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \)

Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается:

\( \angle AOD = \text{arc}(AD) = 108^{\circ} \)

Ответ: 108.