4. В окружности проведен диаметр М№ и параллельные хорды МК и NL. Докажите, что данные хорды равны.

Дано: Окружность с центром О, MN - диаметр, MK || NL

Доказать: MK = NL

Доказательство:

1. Проведем перпендикуляры из центра окружности О к хордам MK и NL. Пусть OH ⊥ MK и OG ⊥ NL.
2. Т.к. MK || NL, то OH и OG лежат на одной прямой, перпендикулярной обеим хордам. Таким образом, точки H, O, G лежат на одной прямой.
3. Рассмотрим прямоугольные треугольники OMK и ONL. В них OM = ON (как радиусы окружности).
4. Так как OH и OG перпендикулярны хордам, то они делят хорды пополам (свойство перпендикуляра из центра к хорде). Значит, MH = MK/2 и NG = NL/2.
5. Треугольники OHM и OGN равны (по гипотенузе и острому углу), то есть OM = ON и ∠HOM = ∠GON. Значит, OH = OG.
6. Из равенства треугольников OHM и OGN следует, что MH = NG.
7. Тогда MK/2 = NL/2, следовательно, MK = NL.

Ответ: Доказано, что MK = NL.